运动纱线中的动力学问题

【作者】 王生泽； 马勋勋； 王永兴； 李姝佳；

【机构】 东华大学机械工程学院； 东华大学纺织装备教育部工程研究中心；

【摘要】 纱线是由短纤抱合或者长丝集束而成的一种极端细长的纺织柔性体,是一种典型的粘弹性材料,其力学性质不仅与纤维本身性质有关,还与纱线的几何特征有关。在加工过程中,纱线在一定张力的作用下沿自身的轴线方向运动或同时沿自身径向方向运动,并与机械部件接触、牵引完成特定的工艺动作,如图1所示;对于机械装备加工而言,纱线不仅是被加工对象,有时也兼做传动部件。由于纱线在加工过程中沿轴向运动速度高,其所受张力处十动态波动状态,即P=P₀cosωt,引起动态弹性模量、粘弹性系数等自身属性的参数会随激励频率变化,即纱线结构几何非线性、材料参数时频变。因此,在建立的纱线本构方程时,其本构关系需准确描述纱线的结构属性和材料特性,如粘弹性、蠕变等等。但针对研究对象的不同关注点可简化纱线的本构方程,以提高计算效率。纱线在加工过程中存在的常见动力学问题有:纱线的匀线速运动问题;纱线的变速、极速问题;纱线的接触与碰撞问题和纱线的动态耦合问题。针对这些动力学问题,利用系统建模和数值求解、分析方法研究纱线的动力学行为是行之有效的方法之一。由于纱线在加工过程中的大形变和大范围运动是一种常见现象,如图2所示。在建立纱线的有限元模型时,传统的梁单元建模方法已不再适用,需要建立适于描述大变形和大范围运动纱线的纱线单元模型。本文假设纱线为圆形截面,直径为d;试制实验装置,测试得到纱线的等效截面面积为A_f,可计算得到纱线的当量直径d。为研究运动纱线的动态特性,利用绝对节点坐标方法建立纱线单元模型,如图3所示。A和B为定义在全局坐标系O-XYZ中纱线单元的两个节点,r_A和r_B分别为节点的位矢。局部坐标系o-xyz定义在节点A上,且x方向定义在纱线的轴向方向。纱线的单元长度为l_e。由于纱线在空间运动,同时关注纱线在轴向方向的动态行为,建立纱线单元模型时考虑了纱线的运动和沿轴向方向的梯度。纱线单元节点坐标为e=[r_Ai r_Ai,x r_Bi r_Bi,x]^T （1）式中:r_Ai和r_Bi分别为全局的位置矢量,i=x,y,z; r_Ai,x和r_Bi,x为全局的位置梯度矢量,且r_Ai,x=?r_Ai/?x和r_Bi,x=?r_Bi/?x。需说明e仅与时间相关的变量,即e=e（t）。纱线是具有大长径比的一维纺织柔性体,其抵抗弯矩和剪切较轴向拉伸弱得多,故在建立纱线模型时可忽略纱线弯矩和剪切对其运动行为的影响,仅考虑沿长度方向的应变。利用全局坐标系,格林应变张量可表示为E_x=1/2[r_x^T（x,t）r_x（x,t）-1]（2）纱线在加工过程中,由于高速运动的纱线会引起张力波动,导致纱线受到周期激励力作用。因此,该周期激励力导致纱线的粘弹性以能量损耗的方式表现出来,而对需要长时间恒力作用下的蠕变和应力松弛影响不明显。故本文基于Kelvin模型建立纱线的本构方程,该方程可表示为σ_x=E_dε_x+η_d dε_x/dt)（3）式中:E₂为纱线的动态弹性模量;η_d为纱线的动态年弹性系数。其本构方程中的参数可通过动态测试仪进行实验识别,经研究结果表明纱线的拉伸模量随着激励频率的增加而增大,粘弹性系数随着激励频率的增加而减小。气流对大范围运动纱线的动态行为影响非常明显,在建立运动纱线系统模型时考虑了空气阻力对纱线的作用,该力Q_re所做功可表示为W_re=∫₀^l_e∑Q_re^TlS（x）[e（t_i）-e(t_i-1)]ldx（4）式中:Q_re=-1/2C_rρ_a∫₀^l_ed·cosζlvlvdx,c_r空气阻力系数,通常c_r=1;ρ_a为空气密度;cosξ=n·v/|v|,n是纱线的法向量,v是运动纱线的速度矢量;S（x）纱线单元的形函数;e（t_i）为第i时刻的位矢,其它类似。纱线在运动过程中重力所做功为W_g=∫₀^l_eρ_lG^TS（x）[e（t₀）-e（t_i）]dx（5）式中:ρ₁为纱线的线密度;G为在全局坐标系下的重力矢量,令重力方向为图3的-Z方向,则G=[0,0,g]^T,g为重力加速度。在运动过程中纱线的变性能包括弹性变形能、弯曲变形能和粘弹性能,纱线单元总变形能U_e的计算表达式为U_e=1/2∫₀^l_eE_dA_fε_x²dx+1/2∫₀^l_eE_dJk²dx+1/2∫₀^l_eη_dA_fε_xdε_x/dx dx（6）式中:J为纱线单元的惯性矩;κ为纱线单元的曲率。根据拉格朗日运动方程,其方程可表述为d/dt ?T/?e-?T/?e+?U/?e=?W/?e（7）式中:T为运动纱线的动能,其单元动能T_e=1/2e^T（t）M_e（t）,e（t）为位矢的广义速度,M_e为纱线的一致质量矩阵;U为运动纱线的变性能;W为外力对运动纱线做功。把运动纱线的各部分能量代入拉格朗日方程（7）,化简可得到运动纱线的动力学方程M_q+Q_ela=Q_g+Q_r（8）式中:M为纱线的质量矩阵;q为纱线的广义位矢;Q_ela。为纱线的弹性力,其值为Q_ela=?U/?q,U为纱线总变形能;Q_g为重力;Q_r为空气阻力。本文基于连续介质力学和有限元相关理论,采用绝对节点坐标方法建立纱线的单元模型,考虑了纱线的动态弹性模量和动态粘弹性系数,并计入空气阻力和重力对运动纱线的影响,得到运动纱线的动力学方程。引入其控制运动模型和边界条件,得到运动纱线系统的动力学方程。采用高效数值求解算法,通过数值求解与分析的方法研究纱线的动力学问题,揭示了运动纱线的动态行为和动力学特性。更多还原