一类Hartogs域的Bergman核函数和陆启铿问题

【作者】 刘玉兰；

【导师】 王安；

【作者基本信息】 首都师范大学 ， 基础数学， 2008， 硕士

【摘要】 1921年，Bergman S．引进Bergman核函数的概念，并在1933年将Bergman核函数的理论推广到多个复变数的情况．Bergman核函数理论为数学中很多领域的研究提供了有用的工具．例如，复分析、微分几何、数学物理等等．对Cⁿ中的有界域，如何求出它的Bergman核函数的显表达式并非易事，这已成为多复变研究中的一个重要方向．陆启铿问题源于陆启铿在1966年的一篇文章中提出的Bergman核函数有无零点的问题．此问题自提出至今，引起很多数学家的兴趣，并给出了大量例子，但给出的例子大都是反例．通过研究域的陆启铿问题，可以知道域的Bergman核函数的零点分布情况，从而为判断两个域是否全纯等价提供了有力的工具．本文主要结果：（1）我们得到域的Bergman核函数为在这一部分，我们首先由域Ω（1，N₁，N₂；K，L）的全纯自同构变换及完备标准正交函数系求其Bergman核函数，其次利用膨胀原理计算出域Ω（N₀，N₁，N₂；K，L）的Bergman核函数．这种方法不仅简化了计算高维复空间中一些有界域的Bergman核函数的显表达式的过程，而且可以推广到底空间是任意有限个包含原点的有界可递域的直乘积形式的Hartogs域．（2）讨论域上的陆启铿问题．在此，我们利用域Ω的全纯自同构变换将多变量问题转化成单变量问题，根据Rouché定理得到一不等式．通过求解使不等式成立的条件，我们得出当固定底空间的维数N₁，N₂与参数K，L时，可求得充分大的正数（?），使得当纤维的维数N₀≥（?）时，所得Hartogs域都是陆启铿域．这样我们不仅给出一系列都是陆启铿域的正面的例子，而且对于进一步给出陆启铿域的几何判定条件提供依据．更多还原

【Abstract】 The Bergman kernel function, introduced by S. Bergman in 1921 and generalized in 1933 respectively, is a useful tool in the research of the branches of mathematics, such as Complex Analysis, Differential Geometry, Mathematical Physics and so on. However, it is difficult to calculate the Bergman kernel with explicit formula, even one focus only on the bounded domains in Cⁿ. Therefore, it has naturally become an important research field in several complex variables.The Lu Qi-Keng problem, which is actually on the zeros of the Bergman kernel, originated from the paper titled "On constant curvature Kahler manifolds" by Lu in 1966. Lu asked in that paper whether the Bergman kernel function of a simple connecteddomain in Cⁿ（n > 1） has no zeros. Many counterexamples occurred since the question was posed. Since the zeros set is an analytic invariant under the biholomorphictransformations, the research on Lu Qi-Keng problem can also be regarded as a powerful tool to tell that when two particular domains are biholomorphically inequivalent.In this thesis, we obtained explicitly the Bergman kernel function for the domainThe formula isFirstly, we compute the Bergman kernel function of the domainΩ（1,N₁,N₂; K, L） by it’s holomorphic automorphism group and the complete orthonormal system, and then according to inflation principle we get the Bergman kernel function of the domainΩ（N₀,N₁,N₂;K,L）.Secondly, we discuss the Lu Qi-Keng problem on the domainIn this part, we transform several variables into single variable problem with the holomorphicautomorphism ofΩ, get an inequality using Rouche theorem , and finally gain a series of Lu Qi-Keng domains, whose fibre’s dimension N₀≥（?）, when we fix the bottom spaces’ dimensions N₁, N₂ and the parameters K, L. So we not only give lots of obverse examples but also offer an basis for finding geometric judgement of Lu Qi-Keng domain.更多还原