【作者】 王宏伟；

【导师】 王书彬；

【作者基本信息】 郑州大学 ， 基础数学， 2006， 硕士

【摘要】 本文分五章：第一章为引言；第二章研究一类具有奇异积分项的Boussinesq方程的Cauchy问题的局部解的存在惟一性；第三章通过积分估计证明第二章所述问题的整体解的存在惟一性；第四章用凸性原理讨论第二章所述问题的解的爆破；第五章在小初值的条件下通过Hilbert变换得出一些振荡积分的估计，利用这些估计得到解的衰减性质，从而证明了解的整体存在性，这是一些新的结果．具体情况如下： 在第二章中，我们研究如下一类具有奇异积分项的Boussinesq方程的Cauchy问题 u_tt+αu_xxxx-βH(u_xxx)-γu_xx=f（u）_xx （0.1） u（x，0）=φ（x），u_t（x，0）=ψ（x） （0.2）的局部解的存在惟一性，其中u（x，t）为未知函数，α＞0，β≥0，γ＞0为常数，H为Hilbert算子，定义为 H（u（x））=（?） 1/π integral from n=|x-y|≥δ u（y）/（x-y）dy=1/π P．V．integral form n=-∞ to ∞ u（y）/（x-y）dy，f（s）为给定的非线性函数，φ（x）和ψ（x）为已知的初始函数，下标t，x分别表示对t，x求偏导数． 为此，我们先研究对应线性方程的Cauchy问题 u_tt+αu_xxxx-βH(u_xxx)-γu_xx=g（x，t） （0.3） u（x，0）=φ（x），u_t（x，0）=ψ（x） （0.4）在证明了（0.3），（0.4）的解的存在惟一性后，利用压缩映射原理，得到非线性问题局部解的存在惟一性，其主要结果如下 定理1 假设s≥1/2，φ∈H^s，ψ∈H^s-2，且f∈C^[s]+1（R），则问题（0.1），（0.2）有惟一的局部解u∈C（[0，T₀），H^s)∩C¹（[0，T₀），H^s-2)，其中[0，T₀)是解的最大存在区间，进一步，若 （?）[||u（t）||H^s+||u_t||H^s-2]＜∞，（0.5）则T₀=∞，即解u∈C（[0，T]，H^s）∩C¹（[0，T），H^s-2)是整体解。更多还原

【Abstract】 This paper consists of five chapters.The first chapter is the introdution.In the second chapter,we will study the existence and uniqueness of the local solution to the Cauchy problem for a class of Boussinesq equations with singular integral terms.In the third chapter,we will prove the existence and uniqueness of the global solution to the problem mentioned in Chapter two by integral estimates.In the fourth chapter,we will discuss the blow-up of the solution to the problem mentioned in Chapter two.In the fifth chapter,we will get some integral estimates with Hilbert transform in the condition of small initial data,we also get the decay property of solutions,then we will prove the existence of the global solution,these are new results.In the second chapter.we study the existence and uniqueness of the local solution in the following Cauchy problem for a class of Boussinesq equations with singular integral terms.where u(x, t) denotes the unknown function, α > 0, β ≥ 0, γ>0 are constants, H is Hilbert transform,its definition isf(s) is the given nonlinear function, φ(x) and ψ(x) are given initial value functions, and subscript t,x indicates the partial derivative with respect to t, x. For this purpose,we first consider the following linear problemAfter the existence and uniqueness of the local solution to the problem (0.3),(0.4) are proved, using the contraction mapping principle we can prove the existence and uniqueness of the local solution to the nonlinear problem.The main results are the following:更多还原