Boussinesq方程组弱解的L～2衰减

【作者】 刘颖；

【导师】 酒全森；

【作者基本信息】 首都师范大学 ， 应用数学， 2005， 硕士

【摘要】 本文考虑如下Boussinesq方程组的Cauchy问题: 其中n≥1表示空间维数,u=u（x,t）表示流体速度,θ=θ（x,t）表示温度,p=p（x,t）表示压力函数,f（x,t）表示给定外力,u₀=u₀（x）,θ₀=θ₀（x）表示初始流体速度和温度,γ≥0和ε≥0分别表示流体粘性系数和导热系数。 本文主要研究内容分为如下两部分: （1） Boussinesq方程组Cauchy问题弱解的L²衰减。 本部分先假设解光滑,给出了光滑解的一致L²衰减估计,从而通过逼近解得出弱解的L²衰减。主要方法是利用付立叶变换方法,首先考虑Boussinesq方程组中第二个方程中温度函数θ的大时间行为,然后在此基础上,再考虑当外力函数f（x,t）满足一定条件时,第一个方程中流体速度函数u（x,t）的大时间行为。 （2） Boussinesq方程组Cauchy问题解的衰减上界估计。 首先给出了热方程解的L²衰减估计,然后假设解光滑,将Boussinesq方程组光滑解与热方程组光滑解进行作差比较,从而得到了两者之差的一致L²衰减上界估计及Boussinesq方程组光滑解的一致L²衰减上界估计,再通过构造逼近解,对逼近解取极限得出弱解的L²衰减上界估计。主要方法仍然是付立叶变换的方法。更多还原

【Abstract】 We consider the following Cauchy problem for Boussinesq equations:Here n is space dimension u = u（x, t）,is the velocity field of the flow, 9 is the active scalar （i.e. temperature）, p（x,t） is the scalar pressure of the flow , f（x,t） is the exteral potential, u₀, θ₀ is the intial velocity and temperature respectively, γ ≥ 0 and ε ≥ 0 is viscosity coefficient of the flow respectively.The contents of the paper include two parts:（1） L² decay for weak solutions of the Cauchy problem for the Boussinesq equations We first get the uniform L2 decay of the smooth solutions. Then we can actuallyobtain the L2 decay for weak solutions by passing limit of the apporximate sequences of solutions. The main tool used is the Fourier splliting method. We first consider the large-time behavior of the temperature of the Boussinesq equation, baesd on which we can obtain, under some assumption of decay rate of given f, the large time behavior of the velocity vector field.（2） Upper bounds estimates for solutions of the Cauchy problem for the Boussinesq equations.Using the L²-decay rate of solution of heat equation, and assuming that the solution of B is smooth, We obtain the L² decay of the solutins of the Boussinesq equations, by comparing the solutions of Boussinesq equations with the solutions of heat equation. The main tool is also the Fourier splitting method.更多还原