【作者】 周伟；

【导师】 施武杰；

【作者基本信息】 苏州大学 ， 应用数学， 2005， 博士

【摘要】 1911年,M.Dehn提出了组合群论的三个基本问题,即:字问题、共轭问题、同构问题。我们知道:对于有限呈示并且是剩余有限(共轭可分)的群,它的字问题(共轭问题)是可解的。对于有限呈示并且子群可分的群,广义字问题是可解的。在这些问题的解决中,群的剩余性质和可分性质是必不可少的。 剩余可分性也是抽象群论关注的性质。对它们的深入研究对于无限群本身的研究和发展也是有意义的。而且如果在群上定义一个射有限(profinite)拓扑,就得到一个拓扑群,对剩余可分性的研究就和对拓扑的性质的研究结合起来。 在第一章中,我们介绍了剩余性质和可分性质的定义和一些已有的结果。我们还给出了后面要用到的一些定义与结论。 在第二章中,我们首先对广义自由积的性质作了一些说明。这些性质将会在后面的讨论中用到。然后我们讨论了一些特殊的可分性质,这些性质在我们后面的讨论中是需要的。 第三章我们讨论了剩余有限群和剩余有限p-群。我们给出了广义自由积为剩余有限性的判定条件,并且得到了顶点子群是有限p-群的多边形积(polygonal products)是剩余有限群的一个条件。在这一章中,我们还讨论了广义自由积成为剩余有限p-群的条件。 第四章讨论群的循环可分性(cyclic subgroup separablity)。在给出循环可分群的一些基本性质后,我们首先讨论了广义自由积成为循环可分群的判定条件,然后再考虑HNN-扩张的循环可分性。 第五章研究了群的共轭可分性,而且我们还得到了循环共轭可分性(cyclic conjugacy separability)的一个判定定理。 最后在第六章中,我们讨论了非幂子群个数对群的影响。证明了如果非循环群的非幂子群个数有限,那么它就是有限群。并且由此给出了群的一个分类。更多还原

【Abstract】 In 1911, M. Dehn gave three fundamental problems in combinatorial group theory: word problem, conjugacy problem and isomorphism problem. Since finitely presented, residually finite(conjugacy separable, subgroup separable) groups have solvable word problem(conjugacy problem, generalize word problem, respectively), the residual properties and separability properties are important for combinatorial group theory.The residual properties and separability properties are also interesting properties in abstract group theory. Moreover we can define a profinite topology in the group, then some residual properties and separability properties become the topological properties. We can study these properties in this direction.In chapter 1, we give the definitions and examples of groups with residual properties and separability properties.In chapter 2, we consider some special separability properties. These properties will be needed in the following chapter.In chapter 3, we study the properties of residual finite groups and residual finite p-groups. We get criterion for generalized free products to be residual finite groups and residual finite p-groups. And we get a condition for a polygonal products to be residually finite.In chapter 4, we study the cyclic subgroup separability(π_c). We get criterions for generalize free products and HNN-extension to be cyclic subgroup separable.In chapter 5, the conjugacy separability is considered. And we get a criterion for the cyclic conjugacy separability of generalized free products.In the last chapter, we discuss the affection of the number of non-power subgroups. We prove: In a non-cyclic group, if the number of non-power subgroups is finite, then the group is finite. And following this theorem, we get a classification of groups.更多还原