指数收敛的物理信息完整嵌入的多尺度有限元方法及高精度多分辨率离散变量拓扑优化的应用

【作者】 张茗硕； 梁缘； 程耿东；

【机构】 大连理工大学；

【摘要】 多尺度有限元法(MsFEM)用数值形函数对模型降阶,无需在最小尺寸特征上离散,避免求解计算代价高昂的全阶模型。数值形函数决定降阶模型的精度。传统方法需人工构造边界条件,带来了三方面限制。第一个限制是完备性、协调性、物理信息完整嵌入性三者的矛盾:线性、周期性边界条件等人工假设边界条件满足完备性和协调性,但无法引入物理信息;超采样技术引入粗单元周围的物理信息,但破坏了协调性。第二个限制是细网格很密时,难以用较少自由度提高精度:基于升阶谱元的有限元胞方法,细网格越密需要的形函数阶次就越高,且在单元边界或内部引入自由度;子结构方法得到精确数值形函数,但在边界上保留了和细网格数量正比的自由度。第三个限制是难以对非规则网格构造边界条件,往往要求粗网格节点之间的边界为直线,使得对结构的描述受限于粗网格,难以高精度描述复杂结构。针对以上限制,本文提出了具有指数收敛效应的物理信息完整嵌入的多尺度有限元方法(TPE-EMsFEM)。其中物理信息完整嵌入包括粗网格内部的非均质性,节点相邻单元的非均质性,和非规则细网格单元在物理空间下的几何信息。本方法只在粗网格节点上添加广义自由度,在粗网格节点的邻域粗单元上线下局部求解harmonic扩展下的广义特征值问题,利用特征向量反映完整物理信息,同时实现了完备性、协调性、物理性完全嵌入性。在边界条件和计算数值形函数时,引入了细网格的物理空间坐标,可以应用于非规则网格,只需较少粗网格即可精确地描述非规则结构。数值算例表明本方法在分析非均质多尺度结构时具有指数收敛的特性,即误差是随着自由度增加呈现指数收敛的,从而当粗细网格数量相差很多时,只需添加少量自由度即可获得高精度全阶模型的解。将本文方法应用于多分辨率拓扑优化,无需人工扩大过滤半径消除孤岛,在降低多个数量级的计算成本下,能够获得与全阶模型同样细节的高分辨率设计,可应用于多尺度随形点阵填充结构设计。更多还原