【作者】 侯晓阳；

【导师】 李工宝；

【作者基本信息】 华中师范大学 ， 基础数学， 2007， 硕士

【摘要】 本文主要对常截曲率流形中具有平行平均曲率向量子流形的Pinching问题进行研究，把前人的方法应运到一个新的张量上，再运用子流形几何的知识和技巧，得到如下一些新结果：定理Ⅰ．令Mⁿ是常曲率为c的黎曼流形N_c^n+p中紧致可定向的子流形，h是平行平均曲率向量，对Mⁿ上的每一个点x，定义函数K（x）是这一点的所有截面曲率的下界，则对（?）α∈[-1，1]，有如下积分不等式成立：其中θ_p,h定义见引言（1.3）式。定理Ⅱ．设Mⁿ是常曲率流形N_cⁿ⁺¹中具有平行平均曲率向量的紧致可定向超曲面，若Mⁿ具有非负截曲率，则Mⁿ是全脐超曲面或它的截曲率K=0。定理Ⅲ．设Mⁿ是常曲率流形N_c^n+p中具有平行平均曲率向量的紧致可定向的伪脐子流形，（ⅰ）．若Mⁿ的截曲率处处不小于(pθ_p,h-1)（c+H²）/(2pθ_p,h)，则|Φ|²=0，Mⁿ是全脐的或截曲率K=(pθ_p,h-1)（c+H²）/(2pθ_p,h)。（ⅱ）．若|Φ|²≤n（c+H²）/θ_p,h，则|Φ|²=0，Mⁿ是全脐的或者|Φ|²=n（c+H²）/θ_p,h。定理Ⅳ．设Mⁿ是单位球面S^n+p中具有平行平均曲率向量的紧致可定向子流形，若|A|²≤2n（n-1）^1/2/(2θ（n-1）^1/2+n)，（?）=θ_p,h-1，则Mⁿ是一标准球面Sⁿ（r），r=（n/（n+|A|²））^1/2；或者|A|²=2n（n-1）^1/2/(2θ（n-1）^1/2+n)。在后一种情形，我们给出了相应子流形的一些不完全分类。更多还原

【Abstract】 In this paper,we mainly study the Pinching problem of compact submanifolds with parallel mean curvature vector in Riemannian manifolds, we get a series of new results as follows:Theorem I. Let Mⁿ be a compact oriented submanifold in a manifold with constant curvature c, let h be the parallel mean curvature vector and K（x） be the function assigns to each point of Mⁿ the infinimum of the sectional curvatures of Mⁿ at that point.Then （?） a∈[-1, 1],we havewhereθ_{p, h} is denned in introduction equality（1.3）.Theorem II. Let Mⁿ be a compact oriented hypersurface in a manifold N_cⁿ⁺¹ with constant curvature c,if Mⁿ has nonnegative sectional curvature,then Mⁿ is totally umbilical or the sectional curvature K = 0.Theorem III. Let Mⁿ be a pseudo-umbilical submanifold in a manifold N_c^n+p with constant curvature c,（i）.If the sectional curvature of Mⁿ is everywhere not less than , then Mⁿ is totally umbilical or the sectional curvature .（ii）.Suppose , then |Φ|² = 0,and Mⁿ is totally umbilical orTheorem IV. Let Mⁿ be a compact oriented submanifold in a unit sphere S^n+p with parallel mean curvature vector, suppose , ,then Mⁿ is a standard sphere Sⁿ（r）, ; or the equality holds. in the latter case,we give some incomplete classifications of Mⁿ.更多还原