【作者】 孔德芳；

【导师】 徐宪民；

【作者基本信息】 浙江师范大学 ， 基础数学， 2006， 硕士

【摘要】 本文主要研究n维复空间Cⁿ中Hardy空间H²（S）上的Berezin变换和Toeplitz算子，主要讨论了Hardy空间H²（S）上的Toeplitz符号演算，得到了n维单位球面S上Toeplitz符号演算的构造性证明及其推广。此外，还讨论了取一致极限的情形。 第一章给出了再生核、Cauchy-Szeg（?）核（积分）、Poisson核（积分）、Toeplitz算子、Berezin变换、交换子理想、半交换子理想等基本概念及其基本性质，并介绍了有关Toeplitz符号演算的研究背景。 第二章讨论了n维复空间Cⁿ中单位球面S上Berezin变换和Toeplitz算子的性质，在n维单位球面S上实现了类似于Englis关于Toeplitz符号演算的构造性证明：由{T_φ，φ∈L^∞（S）}所生成的C^*-代数I（L^∞（S））中算子T的符号恰好等于单位球B上函数（?）（即算子T的Berezin变换）的非切向边界值。 第三章实现了n维单位球面S上经典Toeplitz符号演算的推广。一方面，对于比I（L^∞（S））更大的代数A₁：={T_φ+H：φ∈L^∞（S），H∈F}来说，映射η：A₁→L^∞（S）也有类似于经典Toeplitz符号演算的结论，其中F：={H∈β（H²（S））：‖Hk_z‖和‖H^*k_z‖均径向收敛到零}。另一方面，通过将Toeplitz算子符号的取值范围扩大为BC（B）／V_?，我们还可以将经典Toeplitz符号演算推广到更大的代数A：={T∈β（H²（S））：‖Tk_z‖²-|<Tk_z，k_z>|²和‖T*k_z‖²-|<Tk_z，k_z>|²均径向收敛到零}上，其中BC（B）表示单位球B上的有界连续函数，V（?）表示BC（B）中径向收敛到零的函数所组成的空间。 第四章讨论了取各种算子的一致极限的情形，得到一些结果。更多还原

【Abstract】 This thesis deals mainly with Berezin transform and Toeplitz operators on the unit sphere S in Cⁿ. In particular, Toeplitz symbol calculus is mainly investigated. Given an operator T in I（L²（S））, Englis constructed its symbol by means of Berezin transform. The main aim of this paper is to generalize Englis’s constructive version in Hardy space H²（S）.Chapter 1 is concerned with the definitions and the basic properties of reproducing kernel, Cauchy-Szeg（?） kernel （transform）, Poisson kernel （transform）, Toeplitz operator, Berezin transform, commutator ideal and semicommutator ideal, etc. What’s more, we introduce the background of Toeplitz symbol calculus.In Chapter 2, we investigate the properties of Berezin transform and Toeplitz operators on the unit sphere S in Cⁿ. We obtain the symbol of an operator T in the C^*-algebra I（L^∞（S）） generated by {T_φ, φ∈ L^∞（S）} as the nontangential boundary value of a certain function （?） （called the Berezin transform of T） on the unit ball B.In Chapter 3, we obtain interesting generalizations of the classical Toeplitz symbol calculus. One approach for extending the Toeplitz calculus is accomplished by adjoining the set of operators F := {H ∈ （?）（H²（S）） : ||Hk_z|| and ||H^*k_z||→ 0 radially} to the kernel of the symbol map. Then the map η : A₁ → L^∞（S） still enjoys the required properties by denoting A₁ := {T_φ + H : φ ∈ L^∞（S）, H ∈ F}. Another approach is constructed by enlarging the class in which the symbols are taken. More precisely, another extended symbol calculus is obtained for the algebra A :={T ∈ B（H²（S）） : ||Tk_z||² - |（Tk_z, k_z）|² and ||T^*k_z||² - |（Tk_z, k_z）|²→0 radially} by employing "symbols" from the factor algebra BC（B）/V_?. Here BC（B） stands更多还原