【作者】 王丹；

【导师】 董学东；

【作者基本信息】 辽宁师范大学 ， 应用数学， 2006， 硕士

【摘要】 1994年，Hammons等人证明了一些十分重要的二元非线性码是环Z₄上的线性码在Gray映射下的像，这之后针对四元码的研究逐步开展起来，并获得了很多重要结果。1996年和1997年，Pless，Qian和Sole证明了在环Z₄上的线性循环码的结构特征，并给出了自对偶码的充分必要条件。受到这些人研究工作的启发，本论文以环Z₄上码的理论为基础对环F₂+uF₂，其中u²=0，上的线性循环码进行研究探讨。 首先介绍了环F₂+uF₂上的一些基本理论，定义了环F₂+uF₂上的伽罗华（Galois）扩张，并给出了一些结论。 其次深入研究了环F₂+uF₂上的循环码的结构特征，证明了任何一个环F₂+uF₂上的循环码C都是由（fh，ufg）生成的，其中fgh=xⁿ-1，和|C|=4^deg（g）2^deg（h）。在此基础上给出了循环码对偶码的一些性质，也证明了环F₂+uF₂上的对偶码C^丄是南（g^*h^*，uf^*g^*）生成的。 最后通过幂等元的研究，证明了环F₂+uF₂上的循环码在满足一定条件下存在一个幂等元，并根据幂等元的存在性定义了环F₂+uF₂上的二次剩余码，并研究了二次剩余码的一些好的性质。 1 引言更多还原

【Abstract】 In 1994,Hammons et.al proved that some important binary nonlinear codes such as Kerdock, Preparata, and Goethals codes are images under the Gray map of linear codes over Z₄. Since then people all around the world are interested in studying codes over finite rings with four elements. Many important results have been obtained.In 1996 and 1997, Pless, Qian and Sole gave the structures of the liner cyclic codes over ring Z₄. Motivated by the works of these people, we study linear cyclic codes over the ring F2 + uF2 = {0, 1,u,u+ 1|u² = 0} on the basis of codes over the ring Z₄.Firstly, we review some definitions and several basic results of ring F₂+ uF₂ ,then we construct Galois rings over F₂ + uF₂.Next, we focus on our attention to the structure of cyclic codes over F₂ + uF₂ , and we prove that any F₂ + uF₂ -cyclic code C has generators of the form （fh,ufg）, where fgh = xⁿ - 1 over F₂ + uF₂ , and |C| = 4deg（g）2deg（h）. After that,we discuss some properties of the dual codes over F₂ + uF₂ ,we also prove that the dual code C^⊥ = （g*h*,uf*g*）.Finally, we show that idempotent generators exist on the certain condition over F₂ + uF₂ through studying the idempotent generators of cyclic codes over F₂ + uF₂ . A particularly interesting family of F₂ + uF₂— cyclic codes are quadratic residue codes. we define such codes in term of their idempotent generators and show that these codes have many good properties.更多还原