【作者】 华正含；

【导师】 董学东；

【作者基本信息】 辽宁师范大学 ， 应用数学， 2006， 硕士

【摘要】 在循环码中，一个非常有用的多项式就是幂等元，幂等元不同于生成元却可以生成此循环码，并且幂等元本身也包含着有关此循环码的信息。有时寻找幂等元要比寻找生成元更容易，因此在循环码中寻找幂等元很有意义。由于任一循环码都可以表示为极小循环码的直和，因此本原幂等元更为重要。但是并非所有循环码中的本原幂等元都可以很容易地被表达出来。本文在总结了他人成果的基础上给出了长度为4pⁿ的极小循环码中的本原幂等元，进而又讨论了长度为4pⁿ的极小循环码的一些相关参数。 在本文中，假设p，q为不同的奇素数，n为大于等于1的正整数，q为模pⁿ的本原根，也是模4的本原根。在此情况下，q模4pⁿ恰好有4n+3个分圆陪集，本文首先给出了这4n+3个分圆陪集的具体表达，然后给出了环R_4pⁿ=GF（q）[x]／(x^4pn—1)中的4n+3个本原幂等元的具体表达式。确定本原幂等元时分两种情况来讨论，C₁=-C₁，或C₁=-Ca。最后本文讨论了R_4pⁿ中极小循环码的维数、生成多项式以及它们的极小距离。 1 引言 假设GF（q）为一个域，q为一个奇素数的幂，m≥1是一个整数，且（q，m）=1，其中（a，b）定义为a，b的最大公约数。设R_m=GF（q）[x]／（x^m-1），一个长度为m的定义在GF（q）上的循环码可以看作环R_m中的一个理想。集合{0，1，…，m-1}更多还原

【Abstract】 Any cyclic code is a direct sum of the minimal ideals, generated by the primitive idempotents. Thus the problem of determining the primitive idempotents is very important.The primitive idempotent is different from the generating polynomial for a cyclic code, but it can also generate the cyclic code,and the idempotent itself contains much information about the cyclic code. Sometimes,it is easier to find the idempotent than the generating polynomial. Construction of binary idempotents from the cyclotomic cosets is easy. In general, however, we do not have much information about the codes generated. Only in special situations do we know the dimension.In this thesis,suppose than p and q are different odd primes,n ≥ 1 is a positive integer,and q are both a primitive root mod p^N and 4.In this case, there are exactly An + 3 different cyclotomic cosets mod 4pⁿ. We have derived all the idempotents in the ring GF（q）[x]/ (x^4pn — 1). When we determine the primitive idempotents,we have considered two cases,one is C₁ = -C₁,the other is C₁ = -C_a.We have also discussed the dimension, generating polynomials and the minimum distance of the minimal cyclic codes of length 4pⁿ.更多还原