【作者】 李风军；

【导师】 侯象乾；

【作者基本信息】 宁夏大学 ， 基础数学， 2004， 硕士

【摘要】 本学位论文讨论了几类（0，p（D））三角插值多项式的逼近与饱和问题及修正的一元和二元Lagrange三角插值多项式的逼近问题。总共分为三章，主要包括以下几个方面的内容。 在第一章里，在前人所做的（0，m）三角插值多项式的逼近与饱和思想的启发下，我首先解决了C空间中的（0，p（D））三角插值多项式的逼近与饱和问题，得出如下的结论。 定理1．1．1 设f（x）∈C2π，p（D）为关于D的奇多项式，则‖Jnf-f‖c=O（1／nm）的充要条件是f（m-1）和（?）（m-1）都属于Lip1同时，我们吸收文献[19]的思想，在文献[20]、[21]的基础上得出了WrWα空间中的（0，p（D））三角插值多项式的结果，即 定理1．2．1 设p（D）为关于D的奇多项式，f∈Wm-1Hα，则‖Jnf-f‖α,m-1=O(1／n1-α)的充要条件是f(（m-1）和（?）（m-1）都属于Lip1最后，我们研究了WprHα空间中的（0，p（D））三角插值多项式的相关问题，得出以下结论。 定理1．3．1 设f（x）∈R2π（以2π为周期的Riemann可积函数集），且f∈Wpm-1Hα（m∈N，1＜p＜∞）则‖Jn（f;x）-f（x）‖α,m-1=O(1／n1-α)的充要条件是f，（?）∈VL2πpm 在第二章里，为改善Lagrange插值多项式的收敛性及收敛阶，我们采用逐行一点（或两点）修正的方法，讨论了一元S．N．Bernstein问题，得到了下面的结论。 定理2．1．1 对任给的f（x）∈C2π，极限式在全实轴上一致成立 定理2．1．2 若f（x）∈C2πi，i＜r，则其中O与x，n，f，…，f（i）均无关，w(f（i），δ)为函数f（i）（x）的连续模宁夏大学硕士学位论文.-一-<sup>-.-.曰-.一--.一.-.-一<sup>.一<sup>--..-一---.一-一一一-一-.定理2·1·3:(f;r，、对任何连续函数类的最高收敛阶“声定理2. 2.1对任给的f（x）“q，，极限式级公Hn（f;尸，x）=f（x）在全实轴上一致成立 定理2.2.2设f（x）。C介，（j=l，2，…，r一1），则 fl，，，八1、1I月·LJ;产，工，一了(x，l“口飞万”tJ‘”，万，了其中。与x，n，f，…，f（J）均无关，w（f（J），占）为函数f（J）（x）的连续模定理2.2.3设f（x）。C公，则 「1t，、1、，、、1l月·又J;尹，工，一了（x，I=Ul万w（J“’，万，（·、（x，+‘，主其中O与x，n，f，…，f仕）均无关，w（f仕），占）为函数f（尸）（x）的连续模定理2.2.4若f（x）:c罗，且厂r）（x） 0 LIP〔‘0<a<1，则以（f;产，x）一了（x）l·o{刹其中O与x，n，f，…，f仕）均无关 第三章主要研究了二元5.N.Bernstein问题，采用逐块一点（或两点）修正的方法，圆满的解决了二元5.N.Bernstein问题，并得出了下面的结论，即 定理3.1.1对任意的f（x，y） oC（。），极限式1而兀。（f;r，x，y）=了（x，y）在全平面上都一致成立定理3.1.2若f(x，力。C“，刀（。）（0<a，刀<今，则}二（，;·，·，，卜f（·，，）}一。{E;。（、卜声IF（fx（’:·，），去，去）}其中礁（f）为最小偏差值，w（fx<，:十川，氏，爪）为导函数fx<，:“，（x，y）的连续模，O与n，x，夕，f，…，fx<，:叨，均无关 <sub><sub><sub><sub><sub><sub><sub><sup><sub>、一，山、l，，、1，二。一.卜人。、，1定理3.1·3算于几·（j飞r，戈，y）对仕例连缪幽数尖阴最简叹软和「刀.石不万定理3. 2.1若f（x，力。CZ二二，则下面的极浪式在全平面上一致成立宁夏大学硕士学位谈一文limTnn（f:r，x，y）·f（X，y）定理3.2.2若f（x，y）任C会怎（0‘a，刀‘:一1），则l，、，、，，.、1}Inn（f;r，工，y）一f怀，y）}一Ul石二（J）+奋而w（J石·，），三，主）}其中E二（f）为最小偏差值，w（fx<，:+P），占，，占2）为导函数心+P）（x，力的连续模，O与”，x，y，f，…，心+P）均无关定理3.2.3若f（x，力任C公女‘，且fx’，;+r）(x，力任LIPa，（0<a<l），则，几“;r，一，，一‘（x，，，，二O愣}其中0与n，x，y，f，…，心r）均无关同时，还研究了利用组合平均基函数的方法来沟造出一致收敛的二元Lagrange三角插值多项式，得出了相应的结果，即 定理3.3.1若f（x，，）任e’·r（△），s‘a，r‘刀，则 }蠕（f;x，，）一f（x，夕）}=o丁:众（，）+粤w(，x（·，;生，o）+弄w(刀·，;o，与+粤弄w(fx’，;+·，;生，与I Ln一nm一m nm nmJ其中。与x，y，m，n，f，…，f‘’+r，均无关，w（刀‘，:占1，o）为函数fX(，，的连续模;w（刀r，;o，占2）为函数刀护’的连续模;w（心r，;J，，jZ）为函数fx<，;+r’的连续模;E众（f）为H二中的三角多项式逼近f（x，力时的最小偏差 定理3·3·“设f（x，，）“阎，则。织Tnm:f;x，y）一f（x，夕）在全平面上一致成立 注本论文摘要中出现的记号的定义及意义均见相应的章节。更多还原

【Abstract】 In this paper,the approxition and saturtion about some of （0,p（D）） trigonnometric interpolation polynomials are discussedAt the same time,theapproximation properties of a （bivariate） modiffying Lagrange trisngle interpolation polynomial are studied.The paper is divied intD three chapters.the contents are following:In chapter l,the approximation and saturatian about a kind of （0, P（D）） trigonometric interpolation polnomials in the spscC2 is setted by abbsorbing theidea of （0,m） trigonometric interpolation polnomials,and the following theorem is obtained:Theoreml.1.1 If f（x）EiC2a , p（D）is an odd polynomial aboutD , then, the necessary and sufficients condition of||/, //L - 0（11 nm） is / （m-1） and f（m^l） belong to Lipl.Simultaneously,absorbing the idea of the reference[19]and based on paper [20] and [21],the approximation and saturation theories of the （0, p（D）） trigonometricinterlation polynomials in the spaces W’H " are obtained, that is:Theoreml.2.1 If p（D）is an odd polynomial aboutD , / EWm^lH" ,then, the necessary and sufficients condition of - \a m₁ = 0（1 /n1""） is f（m^l） and7（m-1} belong to Lipl. Finally, the connected questions of the （0, /）） trigonometric interpolationpolynomials in the spaces WrpHa are researched,and the folowing theorem isobtained.Theoreml.3.1 If /WEand / EWH" （mAT,l< p < oo ） then,the necessary and sufficients condition ofIn chapter 2,in order to improve the converge properties and converge order of Lagrange trigonomtric interpolation polynomial 5 ,a point （or two points） in every line’s modified way is used, and the questions of S.N.Bernstein is discussed ,and thefollowing conclusion is drawed.Theorem2. 1 . 1 If f（x） e C2lc ,then,lim T （/; r, x） = f（x） is valid on tatal real axis uniformly.noTheorem2.1.2If/（jc）C2,r, ir then,where O is independent of x, , w（/（0 , 5, is the modulus of continuity of /（/） （x） , En （/） is the minimum deviation with Tn （/; r, x） to approximate the functionTheorem2.1.3 For arbitary continuous function class ,the highest convergence order of Tn（f;r,x）is .Theorem2.2.1 For arbitary /（x） e C2n ,then,limHn（f’,r,x） - /（x）is vaild on tatal real axis uniformly.naoTheorem2.2.2 If /（） e C2yr , （7 = 1A-, r - 1） , then ,where O is independent of x, n, /,/0） , w（/o） ,’） is the modulus of continuity ofTheorem2.2.3 If f（x） e C2r, , then ,where O is independent of x, ,/,, /（r） , w（/O） , ) is the modulus of continuity ofTheorem2.2.4 If f（x） e C , and f（r} （x） e Lioa,Q <a<\, then,[n jwhere O is independent of x, n, /,...,/ （r） .In chapter 3, the questions of double S.N.Bernslein is studied by ues of a point （or two points） in every clump’s modified way .The cuestion of double S.N.Bernstein is resoluted successfully ,and the following theorem is drawed.TheoremS.l.l For arbitadry f（x,y） （Q） , then,（f;r,x,y） - f（x,y） is vaild on total plane uniformly .Theorem3.1.2 If f（x,y） eC（Q） （0 < a,0 < r） , then,n nwhere Ois independent ofn,x,y,f,...,f+p） X/j;,,) is the modulus of continuity of fft\x,y),E’nn（f）is the minimum deviation with Tnn（f;r,x,y）toapproximate the function / （x, y ） . Theorems. 1.3 For arbitary continuous function class ,the highest convergence orderof Tm（f;r,x,y）i --. Theorem3.2.1If f（x,y}1,2, , then,limTm（f;r,x,y）f（x,y） is vaild ontotal plane uniformly .Theorem3.2.2 If f（x,y） EC （2） （0a,fir-l）, then,where O is independent ofn,x,y,ft...,f+p）Mf>\6l,82’) is the modulus of continuity of fp}（x,y）,E’m（f）i the mininum deviation with Tm（f\r,x,y）to approximate the function / （x, y）.Theorem3.2.3 If f（x,y） C1, and f （x,y） （=Lipa,（ < a < 1）, then,where O is independent of n, x, y, /,..., /）.Inaddition ,a bivarite trigonometric interpolation polynomials is constructed throughing average of the fundamental function and its converge properties is studied ;we have.eorem3.3.1 If f（x,y）ECr （A） , s x a,r a 6, then,here Ois independent ofn,m,x,y,f,...,fy+r),w（fx（ll）,6l,0） is the modulus of continuity更多还原