【作者】 王建；

【导师】 高文杰；

【作者基本信息】 吉林大学 ， 应用数学， 2004， 硕士

【摘要】 本篇论文我们将研究下述问题：u_t-div(|▽u|^p-2▽u)=-f（u） （x，t）∈Q_t≡Ω×（0，T） （1）（（?）u）/（（?）n）=9（u） （x，t）∈S_t≡（0，T）（2）u（x，0）=u₀（x） x∈Ω （3）其中，p≥2；当空间维数N=1时，Ω=（0，l）是一个有限区间，当N≥2时，Ω（?）R^N是一个半径为l的球；n是区域Ω的边界（?）Ω的单位外法向量；对自变量u＞0，f（u）＞0，g（u）＞0是光滑函数；且u₀（x）＞0满足一些光滑和相容性条件。我们仅考虑古典解．因此，我们说u是解总假设u∈C^2,1（Q_T）∩C^1，0（（?）_T）。而且，在全篇论文中，我们只考虑正解。所谓抛物方程或椭圆方程的正解是指解分别在Q_T或Ω内是严格正的。 本文共分为五个部分，第一部分介绍了本文的工具-比较原理；后四个部分则介绍了本文得到的主要结果。 （Ⅰ）比较原理。云魂走犷硕士学位论文首先，我们介绍下述方程的比较原理: 。，一（}。‘}p一2。‘），=一f（lu）（x，t）〔（o，l）/（o，T）（4） 一u‘（O，t）=g（。）u‘（l，t）=g（。）t任（O，T）（5） 。（x，O）=。。（x）x任（o，l）.（6） 引理1设。是（4）一（6）的解，丝是（4）一（6）的〔一下解，且丝（x，O）<u。（x），则对所有的x任{0，11和t任（0，界;‘a二），丝（x，亡）<u（x，t），其中T1;‘a二是。存在的最大时间. 接着，利用径向解方法间题（l）一（3）可以写成一下述形式:“，一（}。‘lp一2二，）’-N一1，_.，，。一2_.，—}u}·，a= Xt)=Ou‘（l，t）=夕（。）o)=。。（x）一f（。）（x，t）任（O，l）x（0，T） （7） t任（0，T）（8） x任（O，l）（9）我们也介绍满足上述方程的比较原理. 引理2设。是（7）一（9）的解，丝是（7）一（9）的。一下解，且丝（x，O）<。。（:），则对所有的x任10，l}和t任（0，几‘ax），丝（x，t）<u（x，t），其中界撇二是tL存在的最大时间. 本文的主要结果如下. (I劝关于有限时刻爆破的结果. 首先，我们考虑下述问题解的存在性:（I。‘}p一’。‘）‘=l+J一。‘（0）=尽u‘（l）=尽x任几=（O，l）（10） （11）第48页具非线性边值条件的发展型P一LAPLACE方程解的爆破和整体有限性-然后，我们介绍在N二1的情况下解有限时刻爆破的定理.定理1设。（x，t）。C，，‘（QT）nC‘，o（爵）是（4）一（6）的正解假设存在一连续可微函数m（u），0三u<co，s.t.。（0）=mo，O<mo<1，m‘(司全0，且对某个正常数a>下式成立: 1几 一 P 、、、..J产 U J户夕几、、 g9曰一la一1f（。）三lm（。）{p一’三1+a若。0>0足够大，且对上述正常数a有/oo奥，。三旦二三（三），/（，一1）(、、。、l/（，一l）Jom（s）P‘2‘和f一d·/[m(·，]l’一’<加成立，贝“”·(一‘，在有限日寸刻爆破· 为了证明上述定理成立，我们首先构造一个特殊形式的〔一下解丝（x，t）=v（占（t）+h（x）），由计算和问题（10）一（11）的解的存在性我们可知对足够大的u（〕（x），丝l可题（4）一（6）的。一下解，因为我们证明了下解可。）在有限时刻爆破，我们由比较原理得出结论u（x，t）在有限时刻爆破.这就完成了定理的证明. 在N全2的情况下，由径向解方法和直接计算可知径向解满足问题（7）一（9），因此我们根据上述定理的证明得到下述定理. 定理2设。（二，t）任CZ，‘（Q:）自C‘，0（口:，）是（1）一（3）的正解，假设存在一连续可微函数m(动，0三。<co，s.t.m（0）=mo，0<mo<1，。‘(司全0，且对某个正常数。>下式成立:a一1f（u）三【m（u）」p一‘三 1l+aN，、一，丁[g（u）Jl，一‘.若坳>0足够大，且对上述正常数a有/ooes些典，。三、丑二王(迄、，/‘，一‘，(1+。、“‘。一‘，Jom（s）p‘N‘第49页盆森‘走车硕士学位论文和j‘d·/!m（·），p一‘<的“立，贝””·(一‘，““限日‘亥”爆破·(11匀关于解整体有限的结果.本结果中，我们总是假设存在一个充分小的:>0，s.t.f(哟全2一0·首先，我‘门设F（·）一关’‘了（‘）“‘·然后，我‘门介绍N-解的整体有限的定理. 定理3假设对任意固定的常数a，6>0，存在一个常数式若t全A，则有 a。，，（t）+b（F（沂）一F（亡））<o，而且对任意v全价，亡七A，下述不等式成立:1日寸使得a。”（，）+。（:（v）一:（，））:{委，（。）一:]，‘（;一‘，. ‘则对（x，t）任!o。11 x 10，oo），f可题（4）一（6）的每一个正解都是有限的. 我们的思路是找到问题（4）一（6）的足够大的〔一上解去证明解在所有时间上是有限的.通过计算和问题（12）一（13）的解的存在性，我们可以构造一个足够大的。一上解，我们得出结论每个解在所有时间上是有限的.定理得证. 当N全2时，我们由径向解方法和直接计算可以得到径向解满足问题（7）一（9）.因此我们由上述定理的证明得到下述定理. 定理4假设对任意固定的常数a，b>0，存在一个常数A，使得若t全A，则有 agp（。）+b（F（石）一F（艺））<o，而且对任意。之石，艺全A，下述不等式成立: a。”（。）+。（F（。）一:（:））、[委，（v）?更多还原

【Abstract】 In this paper we study the following problem: where p>2; = (0,l)isa finite interval when the space dimension N = 1, and RN is a ball of radius l with N > 2; n is the outward unit normal vector on the boundary of f and g are smooth functions which are positive when the argument is positive; and u0(x) > 0 satisfies some smooth and compatibility conditions. We consider classical solutions only. Thus, when we say u is a solution, we always assume u C2,1(Qt) C1,0(QT). In addition, we only consider positive solutions in this entire paper. A positive solution of parabolic or elliptic problems means that the solution is strictly positive in QT or in respectively.This paper cosists five parts: the first part provides us the toolof this paper - the comprison principle; and the remaining parts prove the main results of this paper.(/) The comprison principle.First of all, we have the comprison principle to the following problem:LEMMA 1 If u is a solution of (1) -(3), and u is a e-subsolutionof (1) - (3) with u(x,0) < u0(x), then u(x,t) < u(x,t) holds for all x [0, l] and t (0, Tmax), where Tmax is the maximun time that u exists.Then the radial solutions of the problem (1) - (3) can be written as the solutions of the following problem:can also be proven the comprison principle which satisfies the above problem.LEMMA 2 If u is a solution of (7) - (9), and u is a e-subsolution of (7) - (9) with u(x, 0) < u0(x), then u(x, t) < u(x, t) holds for all x [0,l] and t (0,Tmax), where Tmax is the maximum time thatu exists.The main results of this paper are the followings.(II) blow-up at a finite time.At first, we obtain the existence of the solution to the following problem:Then, we prove that the theorem of blow-up at a finite time in the case N= 1.THEOREM 1 Let u(x, t) C2,1(QT) C1,0(QT) be a positive solution of (4) - (6), Suppose that there exists a continously differentiable function m(u) for 0 < u < such that m(0) -m0, 0 < m0 < 1, m’{u) >0, andfor some positive constant >1. Then the solution will blow up in finite time if u0 > 0 is large enough, for the above constant To prove the theorem, we construct a special e-subsolution u(x,t) = v(t + h(x)) firstly with v and h satisfies some differential equations and conditions, By computation and the existence of thesolution to problem (10) - (11) we know that u is a e-subsolution solution to problem (4) - (6) for large u0(x). Since we may prove that the e-subsolution v(s) blows up in finite time, we conclude from standard comprison theory that u(x, t) blows up in finite time. This completes the proof.In the case N > 2 we see that the radial solution satisfies the problem (7) - (9) a direct calculation. So we obtain the following theorem by a similar proof of the above theorem.THEOREM 2 Let u(x, t) C2,1(QT) C1,0(QT) be a positive solution of (4) - (6). Suppose that there exists a continously differentiable function m(u) for 0 < u < oo such that m(0) = m0, 0 < m0 < 1, m’(u) >0, andfor some positive constant . Then the solution will blow up in finite time if u0 > 0 is large enough, for the above constant and (III) The result of global finiteness.Under the assumption that there exists a sufficiently small constant > 0 such that f(u) > 2 > 0 and set F(u) be the integral , we may prove the global finiteness for the solution in the case N = 1.THEOREM 3 Assume that for any fixed constant a, b > 0, there is a constant A such that if t > A, thenMoreover, for any the following inequality holds,Then every positive solution of (4) - (6) is finite for (x,t) [0, ).Our idea is to find an arbitrarily large e-supersolution for problem (4) - (6) to prove that the solution is finite for all the time. By computation and using the result of the existence of the solution to problem (12) - (13) we can construct any arbitrarily large e-supersolution. We conclude that every solution is finite for all the time.In the case N > 2 we see that the radial solution satisfies the problem (7) - (9) by a direct calc更多还原