若干微分与差分系统解的渐近性质

【作者】 霍海峰；

【导师】 陈菊芳；

【作者基本信息】 陕西师范大学 ， 基础数学， 2000， 硕士

【摘要】 所谓解的渐近性质就是指当t→∞时解的性态，它包括：吸引性，渐近稳定性，振动性，振动趋于零或振动而振幅无限增大，或振幅有界等，这些性质揭示了动力系统的长期行为，因而在众多领域有着广泛的应用．本文研究了两种微分系统所描述的生态动力系统与一种差分系统的渐进性质． 首先在现实的野生动物保护过程中，人们常采用扩散的方法让即将灭绝的种群迁移生存环境来保护野生动物．因此，在种群动力学的研究中，扩散的作用日益受到人们的重视．近年来有大量的文献研究具有扩散的模型．文[7]，[8]和[2]研究了无时滞但具有扩散的模型．但是时滞在自然界中是经常存在的，许多生物模型可用具有时滞的微分方程来描述．对于此类模型，时滞对系统稳定性的影响是很不相同的．如对文[6]中的系统而言，随着时滞的增加，稳定性的开关现象发生并且系统最终变为不稳定．而对另外一些文[9]，[11]中的系统，时滞对该系统的一致持续生存与持续生存毫无影响．因而时滞对系统的影响也成为人们关注的课题． 然而，扩散与时滞在自然界中往往同时发生．基于此文[10]和[5]分别研究了具有时滞与扩散的系统．但是他们所研究的仅仅是单种群模型．为此，在本文第二部分中，我们首次研究了如下更为现实的两种群具有非线性功能性反应函数的捕食-食饵模型x’₁ （t） = x₁（t）[r₁（t） - a₁₁（t）x₁（t） + a₁₂（t）x₁（t - r） - （αy（t））/（1+βx₁（t））]+d₁（t）（x₂（t） - x₁（t））,x’₂ （t） = x₂（t）[r₂（t） - a₂₂（t）x₂（t） + a₂₃（t）x₂（t - r）]+d₂（t）（x₁（t） - x₂（t））,y’（t） = y（t）[r₃（t） + e（t）(αx₁（t）/（1+βx₁（t）） - a₃₃（t）y（t） + a₃₄（t）y（t - r）]. 和 ／’／。、＿J。、rJ工＼＿．J工t＿．JLt＿．J工＼＿JJ＿、口川【I】 I 十dl卜)K2了)一Q！卜I)， （＊2kJ”出2厂）K2pI一o22卜沁2卜I一乙23厂厂2厂一了)IL“) 【十＊2卜)〔81卜)一22厂)J， ！V厂)＝川水)卜引3)十到J工o汀方六一a朋卜川卜I一叱噬厂川1了一川］·由于此模型同时具有扩散，时滞与非线性功能反应函数，通常的方法已无法解决此问题．给研究工作带来了一定的难度．我们利用微分不等式和Lyapullov－R删umiki；l技巧，分别获得了两个系统持续生存的充分条件，以及当系统为周期系统时，系统存在全局渐进稳定的周期解的充分条件．由此我们得出在一定条件下，扩散对以上两系统的持续生存与周期解的存在没有影响 其次，由于在自然界生存的许多生物在其不同生理阶段的生育率与死亡率有着明显的差异．例如，只有成年的生物才能繁殖后代，幼小的生物对环境适应能力较差，死亡率较高等．因此，在生物模型的建立中常常将种群按其生理特征分成幼年与成年阶段，这样建立起来的模型就称为阶段结构模型，它更能真实地反映现实·已有许多文献研究了此类模型．详见文［131，［14］；［15］，［24］，［25］，［291，［33］，t35］，［17］；［22］．自食现象在许多种群中都经常出现，例如一些鱼类中经常发生大鱼吃小鱼的自食现象．它对种群的结构与动力行为有很重要的影响。详见【23卫，＊27工，J28＊，【20I，【ZI］，＊311，P6卫斤本文在第三部分研究了女下具有自食及收获的被开发的两种群阶段结构模型． J 出。什｝＝口＊＿什l—’Y队什I一oy一7”＊，、门一丁)十沏／川儿，。K)干F。 J。’N、＿＿。一7，、。NJL、．／n、，／八＿n、．2 卜I＿p、什； 。小)＝Plit)三0，。m闪＝炖川三0，一，三吐三口，川0)＞0． 当人类将种群视为资源时便有了如何合理开发和科学管理的问题．那种对生物资源未能充分利用和开发过度造成资源枯竭的情况；“在过去和今天都是屡见不鲜的．科学的开发与管理，不仅要考虑到当前的高产，而且应考虑到保持生态平衡以保证长期的高产，不仅考虑到产量的多少，还应考虑到投入产出所获得的经济利润．关于经济与生物方面的资源最优管理文［19］和［30］，［16］，［34］和［32］都作了很好的研究工作．但是对于阶段结构，自食和收获三者同时对种群起作用的模型还未见文献研究，我们利用比较原理与叠代的方法得到了上述模型存在一个全局渐近稳定的正的平衡点的充分条件．也就是说，具有正初值函数的所有种群都趋向于一个常种群规模．从生态意义上来说就是达到了一种 2 生态平衡．同样获得了收获的阈值与使种群资源既能保待平衡又使收获率最大 的值即最优收获率，从而为管理部门决策提供了一定的理论指导． 第三；泛函微分方程的振动理论作为泛函微分方程定性理论的一部分，在 最近三十年中有了迅速的发展；在国际文献中这一领域的论文已有成千篇．广 泛的应用背景是促使这一理论迅速发展的基础．例如，在社会生活中?更多还原

【Abstract】 The purpose of this paper is to investigate the asymptotic be-havior of three kinds of dynamical systems. Sytem 1 is two-speciesnonautonomons delay diffusion prey-predator models with functionalresponse. Some sufficient conditions are determined that guaranteethe permanence of the species and the existence of a positive peri-odic solution which is global attractively. System 2 is two speciessystem, where the species-x has two stages, a immature stage anda mature stage, the growth of the species-y is of Lotka-Volterra na-ture, are modeled by a system of two retarded functional differentialequations and a ordinary differential equation. The mature species-x prey on the immature species-x, while the mature species-x andspecies-y are competitive each other. With mature species-x of har-vesting and immature species-x of stocking, we obtain the conditionsfor global asymptotic stability of three nonnegative equilibria andthe threshold of harvesting mature population. The optimal har-vesting of mature population is also considered. Sytem 3 is discreteEmden-Fowler system. we are concerned with some new criteria forthe oscillation of it.更多还原