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SHARP BOUNDS FOR TOADER-TYPE MEANS IN TERMS OF TWO-PARAMETER MEANS

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【Author】 Yueying YANG;Weimao QIAN;Hongwei ZHANG;Yuming CHU;School of Mechanical and Electrical Engineering, Huzhou Vocational & Technical College;School of Continuing Education, Huzhou Vocational & Technical College;School of Mathematics and Statistics, Changsha University of Science & Technology;Department of Mathematics, Huzhou University;

【通讯作者】褚玉明;

【机构】 -School of Mechanical and Electrical Engineering, Huzhou Vocational & Technical College； School of Continuing Education, Huzhou Vocational & Technical College； School of Mathematics and Statistics, Changsha University of Science & Technology； Department of Mathematics, Huzhou University；

【摘要】 In the article, we prove that the double inequalities G^p[λ₁a +（1-λ₁）b, λ₁ b +（1-λ₁）a]A^1-p（a, b） < T [A（a, b）, G（a, b）]< G^p[μ₁ a +（1-μ₁）b, μ₁b +（1-μ₁）a]A^1-p（a, b）,C^s[λ₂ a +（1-λ₂）b, λ₂ b +（1-λ₂）a]A^1-s（a, b） < T [A（a, b）, Q（a, b）]< C^s[μ₂ a +（1-μ₂）b, μ₂ b +（1-μ₂）a]A^1-p（a, b） hold for all a, b > 0 with a ≠ b if and only if λ₁ ≤ 1/2-(1-（2/π）^2/p)^1/2/2, μ₁ ≥ 1/2-（2p）^1/2/（4 p）,λ₂ ≤ 1/2 + (2⁽3/（2 s）(E(2^1/2/2)/π)1/s)-1)^1/2/2 and μ₂ ≥ 1/2 +s^1/2/（4 s） if λ₁, μ₁ ∈（0, 1/2）,λ₂, μ₂ ∈（1/2, 1）, p ≥ 1 and s ≥ 1/2, where G（a, b） =（ab）^1/2, A（a, b） =（a + b）/2, T（a, b） =?₀^π/2（a² cos² t + b² sin²）^1/2 tdt/π, Q（a, b） =（（a²+ b²）/2）^1/2, C（a, b） =（a²+ b²）/（a + b） and E（r） =?₀^π/2 （1-r² sin²）^1/2 tdt.更多还原

【Abstract】 In the article, we prove that the double inequalities G^p[λ₁a +（1-λ₁）b, λ₁ b +（1-λ₁）a]A^1-p（a, b） < T [A（a, b）, G（a, b）]< G^p[μ₁ a +（1-μ₁）b, μ₁b +（1-μ₁）a]A^1-p（a, b）,C^s[λ₂ a +（1-λ₂）b, λ₂ b +（1-λ₂）a]A^1-s（a, b） < T [A（a, b）, Q（a, b）]< C^s[μ₂ a +（1-μ₂）b, μ₂ b +（1-μ₂）a]A^1-p（a, b） hold for all a, b > 0 with a ≠ b if and only if λ₁ ≤ 1/2-(1-（2/π）^2/p)^1/2/2, μ₁ ≥ 1/2-（2p）^1/2/（4 p）,λ₂ ≤ 1/2 + (2⁽3/（2 s）(E(2^1/2/2)/π)1/s)-1)^1/2/2 and μ₂ ≥ 1/2 +s^1/2/（4 s） if λ₁, μ₁ ∈（0, 1/2）,λ₂, μ₂ ∈（1/2, 1）, p ≥ 1 and s ≥ 1/2, where G（a, b） =（ab）^1/2, A（a, b） =（a + b）/2, T（a, b） =?₀^π/2（a² cos² t + b² sin²）^1/2 tdt/π, Q（a, b） =（（a²+ b²）/2）^1/2, C（a, b） =（a²+ b²）/（a + b） and E（r） =?₀^π/2 （1-r² sin²）^1/2 tdt.更多还原

【关键词】 Geometric mean； arithmetic mean； Toader mean； ontraharmonic mean； complete elliptic integral；
【Key words】 Geometric mean； arithmetic mean； Toader mean； ontraharmonic mean； complete elliptic integral；

【基金】 supported by the Natural Science Foundation of China (61673169, 11301127, 11701176, 11626101, 11601485)

【文献出处】 Acta Mathematica Scientia ,数学物理学报(英文版) , 编辑部邮箱 ,2021年03期

【分类号】O172.2
【被引频次】1
【下载频次】27

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