【摘要】 该文证明了双向不等式αQ（a,b）+（1-α）H（a,b）<T（a,b）<βQ（a,b）+（1-β）H（a,b）和λ/H（a,b）+（1-λ）/Q（a,b）<1/T（a,b）<μ/H（a,b）+（1-μ）/Q（a,b）对所有a,b>0且a≠b成立的充分和必要条件是α≤5/6,β≥22^1/2π,λ<0和μ>1/6.其中Q（a,b）=（（a²+b²）/2）^1/2,H（a,b）=2ab/（a+b）和T（a,b）=2/π∫₀^π/2（a²cos²θ+b²sin²θ）^1/2dθ分别表示正数a和b的二次平均,调和平均和Toader平均.更多还原

【Abstract】 We prove that the double inequalities αQ（a,b） +（1-α）H（a,b） < T（a,b） <βQ（a,b）+（1-β）H（a,b）andλ/H（a,b）+（1-λ）/Q（a,b）<1/T（a,b）<μ/H（a,b）+（1-μ）/Q（a,b）hold for all a,b > 0 with a ≠ b if and only if α < 5/6,β > 2 2^1/2/π,λ < 0 and μ > 1/6.Here,Q（a,b） =（（a²+b²）/2）^1/2,H（a,b） = 2ab/（a + b） and T（a,b） = 2/π ∫₀^π/2（a²cos²θ+b²sin²θ）^1/2dθ denote the quadratic,harmonic and Toader means of two positive numbers a and b,respectively.更多还原