【摘要】 设∏kn(a)=(∏1 i1<…<ik≤nk-1∑kj=1aij)1(nk),A(a)=1n∑ni=1ai,G(a)=(∏ni=1ai)1/n分别为n个正实数a1,…,an的第三k次对称平均,算术平均,几何平均 本文用降维法建立了如下的一个优化不等式:若a∈Rn++,n≥3,则使不等式[A(a)]p[G(a)]1-p≤∏n-1n(a)≤qA(a)+(1-q)G(a)成立的实数p的最大值是pn=n-2n-1,实数q的最小值是qn=n(n-2)1-1n(n-1)1n-2,并将此结果用于正定矩阵及单形更多还原

【Abstract】 Let ∏^k_n（a）=（∏1i₁<...<i_k≤nD）k^-1∑^k_j=1a_ij)^1/（nk）,A（a）=1n∑ⁿ_i=1a_i,G（a）=(∏ⁿ_i=1a_i)^1/nare the third symmetric mean of k dgree, the arithmatic mean and the geometric mean of a₁,...,a_n. By means of decsending dimension method, we have proved that the maximun of p is p_n=n-2n-1and the minimum of q is q_n=n（n-2）^1-1n（n-1）^1n-2so that the inequality ^p1-p≤∏^n-1_n（a）≤q A（a）+（1-q）G（a） is held, where, a∈Rⁿ₊₊,n≥3. As applications, our results are applied to positive difinite matrice and simplexes.更多还原