巧用长方体对角线性质定理

【摘要】 <正> 高中《立体几体》第51页给出了长方体的对角线性质定理——长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和,定理的证明两次使用了勾股定理,学生很容易掌握,但由此却可得几个有用的结论:结论1:长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别是α、β、γ,则有COS²α+COS²β+COS²γ=1已知:长方体 AC₁的对角线 B₁D 与棱 AD、DC、DD₁所成的角分别是αβγ,求证:COS2^α+COS²β+COS²γ=1。证明:连结 AB₁、B₁C、B₁D₁,据长方体的性质知:△AB₁D、△B₁CD、△B₁D₁都是 RT△,在 RT△AB₁D 中 COSα=AD/B₁D、COS²α=AD²/B₁D²都在 RT△CDB₁中,COSβ=CD/B₁D、更多还原