算术——几何平均值定理的几种简短证明

【摘要】 <正>设a₁, a₂,…,a_n为n个正数,令A_n=（a₁+a₂+…a_n）/n,分别称A_n和G_n为这n个正数的算术平均值和几何平均值.算述——几何平均值定理 对于任意自然数n,有A_n≥G_n等号成立当且仅当a₁=a₂=…=a_n.应用高等数学中的几个简单不等式可以很容易地证明算术——几何平均值定理.[证法1]利用e^x≥1+x当且仅当x=0时取等号,有当且仅当诸a_i/A_n-1=0（i=1,2,…,n）即a₁=a₂=…=a_n=A_n时等号成立.证毕.[证法2]应用不等式ln（1+x）≤x,x∈（-1,+∞）,等号当且仅当x=0时成立,就有更多还原