两类指数稳定性的等价性

【摘要】 Ｘ为Ｂａｎａｃｈ空间,其范数为‖·‖,Ｔ(ｔ)为Ｘ上Ｃ0半群,其无穷小生成元为Ａ:Ｄ(Ａ)|→Ｘ.Ｔ(ｔ)称为指数稳定,若有Ｍ,σ>0使得‖Ｔ(ｔ)ｘ‖≤Ｍｅ-σｔ‖ｘ‖,ｘ∈Ｘ.(1)Ｔ(ｔ)称为能量指数稳定,若有Ｍ,σ>0使得‖Ｔ(ｔ)ｘ‖Ｄ(Ａ)≤Ｍｅ-σｔ‖ｘ‖Ｄ(Ａ),ｘ∈Ｄ(Ａ),(2)这里‖·‖Ｄ(Ａ)是Ａ的图象范数[1].实际应用提出这样的问题(见文献[2]):这两个概念是否等价?文献[2]证明了当Ｔ(ｔ)是Ｈｉｌｂｅｒｔ空间上压缩Ｃ0半群且Ａ有界可逆时,两类指数稳定性是等价的.本文证明了:定理　若有Ｍ1,σ>0使得‖Ｔ(ｔ)ｘ‖≤Ｍ1ｅ-σｔ‖ｘ‖,ｘ∈Ｘ,(3)则有Ｍ2>0更多还原