【摘要】 Ｐ２（ｘ）是三元二次初等对称平均，Ｍｓ（ｘ）是ｓ次幂平均。本文求出了使不等式Ｍｐ（ｘ）≤Ｐ２（ｘ）≤Ｍｑ（ｘ）成立的最大ｐ和最ｑ。把这个结果用于任意ＡＢＣ，我们得到Ｍｋ（ｍａ）≥３ｒ，ｋ≥（ｌｎ３）／（ｌｎ２—ｌｎ３）；Ｍｔ（ｍａ／ａ）≥／２≥Ｍ－ｔ（ｍ／ａ），ｔ＞（ｌｎ９—ｌｎ４）／ｌｎ３；Ｍｋ（ｈａ／ｒａ）≥１，ｋ≥（ｌｎ３—ｌｎ２）／ｌｎ２；Ｍｋ（ｒａ／ｍａ）≥１，ｋ≥（ｌｎ３—ｌｎ２）／ｌｎ２，其中ａ，ｒ，ｒａ，ｈａ，ｍａ分别是边长，内切国与旁切国的半径，高以及中线。更多还原

【Abstract】 The second elementary symmetric mean and power mean of three positive numbers x,y,zare defined byP2Mrespectively. We prove that the second elementary symmetric mean separetes two nearly powermeans in the waywhere t= (ln9-ln4)/ln3= 0. 738.. Some applications on the elements of a triangle are Mk (ma, mb,mc ) ≥3r,where K≥(ln3)/(ln2-ln3) =-2. 70...;Mt (ma/a,mb/b,mc/c)≥where t≥(ln9 -ln4 )/ln3 = 0. 738 ..;where k≥(ln3 -ln2) /In2= 0. 584..更多还原