【摘要】 <正> 设f（x）∈c[-1,1],U_n（x）=sin（n+1）θ/sinθ（x=cosθ）为第二类多项式,x_k=cosθ_k=cos（kπ）/（n+1）（k=1,…,n）为其 n 个零点。又记 x₀=1,x_n+1=-1。文考虑了以{X_k}（k=0,1,…,n+1）为节点的第二类 Bernstein 型插值过程:更多还原

【Abstract】 Let L （f,x） be the Lagrange interpolation processes based on zeros of（1-x²） （sin（n+1）arc cos x）/(（1-x²）^1/2).We consider the extended interpolation processesof Bernstein typeH_n^k（f,x）=H_n^k（f,θ）=(（-1）^k+1)/2^2k{Δ_2t^2kL_n（f,θ）+（-1）^k+12^2kL_n（f,θ）}x=cosθ,t=π/（2（n+1））.In this note we prove the following theorems.Theorem 1.If f∈c[-1,1],thenH_n¹（f,x）-f（x）=O（1）[ω₂(f,(（1-x²）^1/2)/n+1/n²)+ω（f,1/n²）],Where the “O” sing is independent on f and x.Theorem 2.Let f （x） be a real function defined on [-1,1] andg（θ）= f（cosθ）,then（i）‖H_n¹（f,x）-f（x）‖=0（1/n²）iff f=con st.（ii）‖H_n¹（f,x）-f（x）‖=0（1/n²）iff g′∈LipI.Tehorem 3.Let f∈c[-1,1],then there exist constants 0<c₁^k<C₂^k<+∞ such thatC₁^kω_2k（g,1/n）≤‖H_n^k（f,x）-f（x）‖≤C₂^kω_2k（g,1/n）for every positive integer k.更多还原