Ramanujan公式与Riemann Zeta函数在正奇数点上的值

【摘要】 <正> 在Ramanujan的“Notebooks”[1]中,有以下包含Zeta函数在奇数点上的值的两个公式:其中Bi是Bernoulli数,正数α,β满足条件αβ=π²,Σ′表示当k是奇数2m—1时,最后一项应是（—1）^mπ^2mB_2m²/（m！）². Hardy[2]证明了公式（A）.1972年E.Grosswald[3]证明了公式（B）.在此以前,E.Grosswald[4]还给出了ζ（2k+1）的一个表达式. 本文的目的是:（1）用Hardy证明公式（A）的方法证明公式（B）;（2）用Siegel证明Dedekind函数方程的方法[5]简便地证明公式（B）;（3）由公式（B）导出ζ（2k+1）的表达式,并在此过程中得出一些其他关系式.更多还原