【摘要】 <正> 关于丢番图方程 x~4ーDy~2=1,D>0且不是平方数。 (1)Ljunggren,Cohn和本文作者都有过不少工作,现简述如下: 1.1942年,Ljunggren证明了丢番图方程(1)最多只有二组正整数解(x,y). 2.1966年,Ljunggren还证明了D=p是一个奇素数时,则方程(1)在p≠5,29更多还原

【Abstract】 For the Diophantine equation x⁴ - Dy² = 1, （1） where D>O and is not a perfect square, we prove the following theorems in this paper.Theorem 1. If D7 （mod 8）, D= P₁p₂…P₃, s≥2, where p_i （i=1,…, s） are distinct primes, p₁≡1 （mod 4） such that either 2p₁=a²+b², a≡±3 （mod 8）, b≡±3 （mod 8）or there is a j（2≤j≤s）, for which Legendre symbal （p_i/p₁）=-1, and p_i≡7 （mod 8） （i=2,…, s） or p_i≡3 （mod 8） （i=2,…, s）, then （1） has no solutions in positive integer x, y.Theorem 2. If D=p₁…p_s, s≥2, where p_i（i=1,…, s） are distinct primes, and p_i≡3 （mod 4） （i=1,…, s）, then （1） has no solutions in positive integer x, y.Theorem 3. The equation （1） with D=2p₁…p₃ has no solutions in positive integer x, y, if（1） p₁≡（mod 4）,p_i≡7 （mod 8） （i=2,…, s）, such that either 2p₁=a²+b², a≡±3（mod 8）, b≡±3 （mod 8） or there is a j（2≤j≤s） for which（p_i/p₁）=-1; or （2） p₁≡5 （mod 8）, p_i≡3 （mod 8） （i=2,…, s）; or （3） p₁≡5 （mod 8）, p_i≡7 （mod 8） （i=2,…, s）.Corollary of theorem 3. If D=2pq, p≡5 （mod 8）, q≡3 （mod 4）, where p, q are distinct primes, then （1） has no solutions in positive integer x, y.Theorem 4. If D=2p₁…p_s,p_i≡3 （mod 4） （i=1, …, s）, then （1） has no solutions in positive integer x, y.更多还原