【摘要】 <正> 本文的问题导源于对于实简单李群的测地线的研究.要交这些群,尤其是属于典型群类的,个別的讨论纳入一般的范畴,遂使我们引进了具反对合的准 U 空间这个结构。我们可称他为实准 U 空间以后以 UR 表示之.(关于详细定义可参考§1)在 UR 空间内讨论实的对称和反对称线性变换的分类,所谓实的线性变换者即是与空间内基本反对合更多还原

【Abstract】 Par espace unitaire nous entendons toujours un espace vectoriel L sur lecorps de nombres complexes K danslequel une forme hermitienne(x,y,quin’est pas necéssairement définie positiv,est défine;par une anti-involution,une application x→(?)de(?)sur lui-même vérifia(?)Nous dirons que l’espace unitaire admette une anti-involution,désigéncetespace par UR,lorsque les deux structures définies ci-déssus sont liées parla relation suivante(?)Le groupe projectif de tous les automorphisms d’un espace UR est ungroupe de Lie réel classique,c’est-à-dire un groupe de Lie simple réel apparte-nant aux 4 grandes classes;sauf certains cas trivials,ce sont tousles groupesclassiques réels.(i)ι=ε=1,le groupe pseudo-euclidean;(ii)-ι=ε=1,le groupe pse-udo-unitaire quaternionique;(iii)ι=-ε=1,le groupe symplectique réel;(iv)ι=ε=-1,le groupe réel simple du type D.Nous nous proposons ici d’étudier la classification des transformations réel symétriques ou réel symétriques gauche,ce sont des transformations linéairescommutant avec l’anti-involution donnée.Nous savons déjà que darts espaceunitaire,une transformation symétrique ou symétrique gauche est classifiée parses diviseurs élémentaires en général avec signatures.Par la méthode analo-que mais plus precise,nous trouvons aussi,dans espace UR,comme invariantscompléts ces diviseurs élémentaires signés.Nous pouvons donc annoncer leTHEOREME Pour que deux transformations linéaires réeles symétriques(symétriques gauche)soient équivalentes darts l’éspace UR, il faut et it suffitqu’elles soient équivalentes dans l’espace unitaire.Les diviseurs élémentaires d’une telle transformation linéaire ne sont pasarbitraires,ils vérifient cependent certaines conditions.Désignons par+(t-α)~mun diviseur élémentaire signé et-(t-α)~m,le même diviseur dont la signatureest contraire à celle de premier,nous avons alors une Iiste suivante indiquantles formes générales des diviseurs qui doivent apparaitre simultanement.(Ⅰ)Pour la transformation linéaire réele symétrique:(i)(t-α)~m,(t-(?))~m,+(t-α)~r;(ii)(t-α)~m,(t-α)~m,(t-(?))~m,(t-(?))~m,+(t-α)~r,+(t-α)~r;(iii)(t-α)~m,(t-α)~m,(t-(?))~m,(t-(?))~m,(t-α)~r,(t-α)~r;(iv)(t-α)~m,(t-(?))~m,(t- α)~r,(t-α)~r;où α est un hombre réel et α, non réel.(Ⅱ)Pour la transformation linéaire réele symétrique gauche:Nous avons dans tousles cas,les formes générales(t-α)~m,(t-(?))~m,(t+α)~m,(t+(?))~m,lorsque α n’est ni réel ni imaginaire.Pour les racines réeles ou ima-ginaires nous avons la liste suivante(i)(?)(ii)(?)(iii)(?)(iv)(?)où α,β sont des hombres réels.En terminant nous signalons les applications à l’étude des automorphismsde groupes simples réels et surtout à la détermination des espaces symétriquesriemanniens correspondants qui féront l’objet d’un mémoire ultérieur.更多还原