【作者】 陈雪生；

【导师】 袁平之； 刘伟俊；

【作者基本信息】 中南大学 ， 概率论与数理统计， 2006， 博士

【摘要】 加性群论与加性数论又称堆垒群论和堆垒数论．其中许多古典问题是直接问题，即给出群的两个子集A与B，我们来描述和集A+B的结构。相反的问题是逆问题，即由和集A+B的结构来决定A与B的结构。在这篇文章中，我们主要研究加性群论中与直接问题和逆问题有关的若干基本问题，我们分六章来讨论这些问题。在第一章，我们介绍一些基本概念与记号，并总结加性群论有关问题研究的一些背景与进展。在第二章，我们用集合论的一些方法给出了Kneser’s定理的一个新的等价形式，即设G为Abel群，A，B为G的两个有限非空子集，令H=H（A+B）={g∈G|A+B+g=A+B}为A+B的稳定化子，则|A+B|≥|A|+|B|-（?）{|（A-a）∩（B-b）∩H|，|（A-a）∩（b-B）∩H|，|（A-a）∩[h-（B-b）∩H]∩H|}。此结果作为这篇文章中的一个基本工具，比高维东的结果更精细。我们用这个结果很容易推出加性群论的一些著名的定理（如Kemperman-Scherk’s定理，Cauchy-Davenport’s定理与Chowla’s定理）等一些关于子集和的一些结论。并用该定理改进了M．B．Nathanson关于群的加法基（堆垒基）的阶数的上界。在第三章，我们将Kemperman’s结构定理（KST）推广到下面两种情形：（ⅰ）满足|A+B|=|A|+|B|+k（k为非负整数）的子集对（A，B）。（ⅱ）满足|A+B|=|A|+|B|-ρ（ρ≥1为整数）且A+B为非周期或存在某元素c∈A+B使V_c（A，B）=ρ的子集对（A，B）。在第四章，我们将D．Grynkiewicz关于拟周期分解的性质一般化。如关于A的两个拟周期分解，我们有下面更一般的结果：设A₁∪A₀与A′₁∪A′₀分别为A的拟周期为H与L的拟周期分解，其中H与L为G的非平凡子群。则下列结论之一成立：（ⅰ） A₀=A′₀，A₁=A′₁；（ⅱ）存在H∩L的某个陪集的一子集K（可为空集（?））使A∪K为（H+L）-周期；（ⅲ） L为H之真子群（L＜H）且A₀为L-拟周期；（ⅳ） H为L之真子群（H＜L）且A′₀为H-拟周期。另外，我们利用拟周期分解的性质对Kemperman的一个奇怪的事实作出新的统一注解，并将Kemperman关于奇怪的事实成立条件“n＞2ρ”换为更广的条件：“群G中任意n-ρ个元生成的子群的阶数＞ρ”。在第五章，我们给出了Kneser’s定理的一个新的等价形式的两个应用。我们首先给出了Abel群G的元构成的序列S的和集sum from n=≤h（S） （S）的一些性质，这些性质比高维东所给出的性质更精细。另外，我们给出了Chuang Peng的结果的一个新的简易证明。其次，我们给出了Frobenius数的上界的几个新的估计公式，而这些公式改进了Vitek与Shen Jian给出的上界。在第六章，我们首先利用Kneser’s定理作为工具推广了G．Zemor关于初等Abel 2-群的一个结果，即我们有更一般的结论：设G为（m₁，m₂，…m_r）型Abel群，A为G的一对称闭包，且为G的有限生成子集，若|A|＞|G|╱n，其中n≥[e（G）╱2]，e（G）=m_r，表群G所有元的阶之最小公倍数。则nA=G。其次，我们给出了有关ρ-极大生成集的一些新结果：我们得到了s_ρ（G）的上界的新估计式，即设G为(（m₁，m₂，…m_r）型Abel群，若ρ＞max{4，[e（G）╱2]}，其中e（G）=m_r，则s_ρ（G）≤|G|╱ρ-1。此上界优于B．Klopsch和V．F．Lev得到的上界3╱2ρ^-1|G|。我们并给出了刻划使t_ρ（G）=0的（G，p）一类非平凡的例子：其中G为（2，m）型Abel群G=Z₂ （?）Z_m（2|m，m≥8）或（3，m）型Abel群G-Z₃（?）Z_m（3|m，m＞10），ρ=[m╱2]。更多还原

【Abstract】 Many classical problems in additive additive group theory andadditive number theory are direct problems, in which one starts with twosubsets A and B of a group, and tries to describe the structure of thesumset A+B consisting of all sums of elements of A and B. Bycontrast, in an inverse problem, one starts with a sumset A+B, andattempts to describe the structure of the underlying set a and B.This thesis studies some basic combinatorial problems ofan abelian group,especially those related to direct problemsand inverse problems.Contents of the research is divided intosix chapters.In chapter 1,we introduce some basic notations andconcepts, and summarize the backgroud and advancement ofthe research on direct problem and inverse problem of additive grouptheory and additive number theory.In chapter 2, we obtain a new alternative formulation ofKneser’s theorem,which is obtained by applying the method ofset theory, i.e. |A+B|≥|A|+|B|-（?）{|（A-a）∩（B-b）∩H|, |（A-a）∩（b-B）∩H|,|（A-a）∩[h-（B-b）∩H]∩H|}.where H=H（A+B）={g∈G|A+B+g=A+B}.This result have manyapplications. In chapter 3, we mainly include two generalizations ofKemperman’s Structure Theorem （KST） for critical pairs（i.e.those finite subsets A and B of an abelian group with|A+B|≤|A|+|B|） through quasi-periodic decompositions and anew alternative formulation of Kneser’s Theorem.In Chapter 4, we completely characterize some aspects ofquasi-periodic decomposition, which are the generalizations ofthe aspects obtained by D.Grynkiewicz. For example,we provethat if A₁∪A₀ and A′₁∪A′₀ are both quasi-periodic decompositions of asubset A of an abelian group G,with A₁ H-periodic and A′₁L-periodic,then one of the following conclusions holds:（ⅰ） A₀=A′₀, A₁=A′₁;（ⅱ） there exists a subset K of some H∩L-coset such that A∪Kis （H+L）-periodic;（ⅲ） L is a proper subgroup of H and A₀ is L- quasi-periodic;（ⅳ） H is a proper subgroup of L and A′₀ is H- quasi-periodic.In addition,we give a new united explanation of Kemperman’scurious result and extend Kemperman’s result.In chapter 5, we refine the aspects of the sumsetsum from n=≤h（S） （S）,which is established by Gao Wei Dong,where Sis asequence of an abelian group,we give a new simple proof ofthe results of Chuang Peng,which is related to Olson’s constant and we obtain some new upper bounds on the Frobeniusnumber with some methods of additive group theory.In chapter 6, we improve G.Zemor’s result about theadditive base; and determine s_p（G） and t_p（G） in special cases.更多还原