【作者】 冯自勤；

【导师】 江守礼；

【作者基本信息】 山东大学 ， 基础数学， 2006， 博士

【摘要】 函数空间理论研究的开始是在Ascoli[1883]，Arzela[1889]以及Hadamard[1898]提出在函数集合上构建拓扑的想法以后才正式开始的。在1935年，Tychonorff的文章证明了在R^x中，点收敛拓扑跟Tychonorff拓扑是一样的。很快，Fox定义了紧开拓扑，点收敛拓扑的一种推广。在此之后，越来越多的拓扑学家对函数空间的拓扑性质开始了系统的研究。 在本文中，首先，我们对拓扑函数空间的广义度量性质进行了伸入的研究。自从Ceder于1961年发表了他的著名文章“Some generalizations of metric spaces”，许多拓扑学家都把他们的注意力转移到M_i-空间这一问题的研究上来。十九世纪七十年代，Gruenhage[1976]和Junnila[1978]分别利用不同的方法独立地证明了M₃-空间是M₂-空间。这一结果激励人们以更大的热情去研究：是否M₂-空间也是M₁-空间。因为M₃-空间就是M₂-空间，我们通常把这一问题称为M₃（?）M₁问题。 最近，Paul M. Gartside和E. A. Reznichenko在他们的关于函数空间的近度量性质的文章中，证明了C_k（P）是M₃-空间，这里P是指无理数空间，但是在文章的证明中，很有意思的是，对于证明C_k（P）是M₁-空间没有任何的帮助，即使P是σ-紧并且是完全可度量化。后来，G. Gruehage证明了当X为σ-紧的Polish空间时，C_k（X）是M₁-空间，并且给出了σ闭包保持的基的构造。在本文中，拓扑空间X均为Tychonorff空间。 在第一章中，主要的结果分为两个方面。首先在第1．3节中，我们利用M₃-空间与层化空间等价，从而利用层化的g函数的定义，证明了当X是σ-紧的Polish空间，B是Banach空间时，C_k（X，B）是层化空间，因而是M₃-空间。从而知道，如果X是σ-紧的Polish空间，K是紧的拓扑空间，那么C_k（X×K）是M₃-空间。并且给出了一个更一般的定理。然后，在第1．4节更多还原

【Abstract】 The idea of topologizing the set of continuous functions from topological space into another topological space came from the notions of pointwise and uniform convergence of sequence of functions. The works of Ascoli [1883], Arzela [1889] and Hadamard [1898] marked the beginning of function space theory. In 1935, Tychonorff proved that the pointwise convergence topology is exactly the Tychonorff topology in R^X. Soon after that, Fox defined the compact-open topology, a generalization of pointwise convergence topology. Then, more and more topologists began the systematic researching of the function spaces, mainly in the pointwise convergence topology, compact-open convergence topology, and uniform convergence topology.In this paper, first, we investigate the generalized metric properties of the topological functional space. Ceder’s famous paper "Some generalizations of metric spaces" was published in 1961, many topologists have devoted their attention to the question on M_i-space since then. In 1970’s, Gruenhage[1976] and Junnila[1978] prove that M₃-spaces are M₂-spaces independently using different methods. Their result inspirits more enthusiasm of people, who want to solve the problem whether M₃-spaces are M₁-spaces.Recently, Paul M. Gartside and E.A. Reznichenko proved that C_k（P） is M₃ space where P is the irrational space. However, in the proof of their paper, there is no clue that C_k（P） is M₁ space, even when P is σ-compact and Polish space. Soon after that, G. Gruehage proved that C_k（X） is M₁ space if X is σ-compact Polish space and gave the construction of σ-closure preserving basis. In this更多还原