【作者】 冯秀红；

【导师】 虞言林；

【作者基本信息】 苏州大学 ， 应用数学， 2006， 博士

【摘要】 在物理中，Pauli矩阵为 {P_i|P_iP_j+P_jP_i=-2δ_ij，P_i^-1=（?）_i^t}。任意给定两组Pauli矩阵{P_i}，{（?）_j}，由Schur引理可知存在矩阵T，使得式子 TP_iT^-1=（?）_i成立，其中T^-1=（?）^t，这样的T彼此之间差一个e^iθ倍数，所以每两组Pauli矩阵之间除差一个相似变换外，还有一个不确定的因子e^iθ。物理上的Pauli矩阵与数学中的旋量是等价的。将Pauli矩阵转化为数学中旋量语言：任何两个旋量空间是Schur同构的，这样的同构彼此之间差一个不确定因子e^iθ。本文前半部分就是为了消除这种不确定性，得到旋量之间的Schur同构的惟一性，期望对物理上有帮助，文章后半部分给出Riemann-Roch算子和Dirac算子之间的关系。 首先，具体介绍了Clifford代数并定义了它的子集Spin群和Spin^C群，并且给出这些群及它们的李代数在向量空间V上的作用，可以得到Spin（2n）与SO（2n）及它们李代数之间的关系，并给出Spin^C（2n）的定义。 其次，将物理中的Pauli矩阵陈述成数学语言得到旋量空间，并在旋量空间上加入增广的结构：Jack-映射J和Jack-定向元∈，这样就可以得到维数相同时旋量之间Schur同构的惟一性，紧接着我们给出旋量的标准模型：Grassmann代数∧_C^*（n），并且定义标准模型上的增广结构。随后通过定义张量积的概念和张量积上的增广结构，我们可以把低维的情形推广到高维。 最后，讨论Riemann-Roch算子和Dirac算子的关系，由嵌入i：U（n）→Spin^C（2n），则M上有U（n）结构可以说明M上有Spin^C（2n）结构，并讨论了M上的Levi-civita联络▽^L，近复联络▽^C及Spin^C（2n）联络▽^S之间的关系，接着给出近Hermite流形M上的Riemann-Roch算子及它的Dirac表示，最后由上面得到的Schur同构的更多还原

【Abstract】 Pauli martices in Physics equal to spinor space in Mathematics, In Physics,Pauli matrices are{P_i|P_iP_j + P_jP_i = -2δ_ij, P_i^-1=（P|-）_i^t}For any two Pauli matrics systems {P_i}, {P|^<sub>i}, by Schur lemma,there exists an unitary matrix T satisfyingTP_iT^-1 = （P|^<sub>）iwe say these two Pauli matrices systems are equal. T satisfying this equality is unique up to a multiple e^iθ, so there not only exist a transformation between two Pauli matrices systems ,but also an uncertain factor e^iθ, so corresponding to spinor space ,iso-morphism between any two spinor spaces is unique up to a multiple e^iθ.For studying spinor space,we define an augmented spinor structure on spinor space,thus we can get the uniqueness of Schur isomorphism, this new concept hope to be helpful to Physics,in the last part,we give the relation between Riemann-Roch operator and Dirac operator.Firstly,we introduce Clifford algebra in detail and it’s some subgroup:Spin, Spin^C. At the same time, we give the action of these group and it’s lie group on space. Further-more,we can get the relation between Spin, Spin^C and SO（2n）.Secondly,we translate Pauli matrices into spinor space in geometry language.By Schur lemma,we can get the isomorphism between two spinor space is unique to e^iθ multiple.Through adding some structure :Jack-map and Jack-orientation, we can get the uniqueness of isomorphism.Consequently,we give a naive model: Grassmann algebra. Tensor product of spinor space can extend low dimension to higher dimentinal space.Lastly,we study the relation between Riemann-Roch operator and Dirac operator.If there is a U（n） structure on M,by imbedding i : U（n） → Spin^C（2n）, we can get it’s Spin^C Structure .At the same time,we discuss the relation among Levi-civita connec-更多还原