【作者】 朱继德；

【导师】 洪家兴；

【作者基本信息】 复旦大学 ， 基础数学， 2005， 博士

【摘要】 本论文考虑下列非椭圆非线性Schr（?）dinger方程 iu_t+sum from j=1 to n ∈_j（?）_j²u+K（t,x）|u|^αu=0,u|_t=0=ψ0。的柯西问题,这里K（t,x）为已知实值函数,t∈R,x∈Rⁿ,n≥2,0<α≤4/n,∈_j E{-1,1},1≤j≤n,i=-1^1/2。已知ψ₀∈H^s（Rⁿ）（通常的Sobolev空间）,其中0≤s≤1。未知函数u（t,x）是实变量t和x的复值函数,简记为u（t）。 本论文分为三章,第一章绪论介绍了Schr（?）dinger方程的物理背景和一些相关问题,如弱非线性色散波,并简单回顾了通常椭圆Schr（?）dinger方程整体解的主要结果以及本论文要用到的概念和工具。同时叙述了本论文得到的主要结论。 在第二章,我们首先导出非线性项的估计,然后用Strichartz不等式和压缩映射原理,对上述方程分别在Lebesgue空间L^q（I_T,L^r（Rⁿ））和Besov空间L^q（I_T,B_r^s,₂（Rⁿ））中,相对于L²和H^s初值的局部解存在性作了讨论。这里0<s<1,（q,r）是容许对。另外,注2.2还证明了临界指数,即α=4/n时,方程在Lebesgue空间L^q（R,L^r（Rⁿ））中有L²小初值的整体解。 在第三章中,我们仅利用方程解的L²守恒律,而没有用Hamilton守恒律,证明了方程整体解的存在唯一性。在第三节还讨论了一个次临界的非椭圆非线性Schr（?）dinger方程组,用类似的方法得到了方程组整体解存在性的一个结果。更多还原

【Abstract】 In the present thesis, we consider the Cauchy problem of the following nonlinear nonelliptic Schrodinger equationswhere K（t,x） is a given real-valued function, t ∈ R, x ∈ Rⁿ, n ≥ 2,0 < α < 4/n, ∈_j ∈G {-1,1}, 1 ≤ j ≤ n,i = （-1）^1/2. Let φ₀ ∈ H^s（Rⁿ） （usual Sobolev space） where 0 ≤ s ≤ 1. The unknown u{t, x) is a complex-valued function of real variables t and x, simply denoted by u（t）.The thesis is divided into three chapters. The frist chapter is the introduction. In Section 1 of the chapter, the physical background of Schrodinger equations is briefly described and main results of the thesis are presented.In the second chapter, we obtain estimates of the nonlinearity of the equations and prove the exsitence of the unique local-in-time solutions of the equations in Lebesgue space of L^q（I_t, L^r（Rⁿ）） or Besov space of L^q(I_t, B^s_r,2（Rⁿ）) corresponding to the initial data φ₀ ∈ L²（Rⁿ） or φ₀∈ H^s（Rⁿ） by Strichartz’ inequality and the contraction mapping principle. Here 0 < s < 1,（q,r） is an admissible pair. In addition, Remark 2.2 shows that the equations admit global solutions in Lebesgue space of L^q（R, L^r（Rⁿ）） corresponding to small initial data in L²（Rⁿ） when α = 4/n.In the last chapter, by L²-conservation law of u（t）, we prove the main results of the present thesis, i.e.,exsitence of global solutions of the equations. Finally, we consider a nonelliptic Schrodinger system, arising in studying of condensed material for which similar results are obtained.更多还原